On a class of conservative, highly accurate Galerkin methods for the Schrödinger equation

— We construct and analyze efficient fully discrete Galerkin type methods, that are of high order of accuracy and conservative in the L sense,for approximating the solution ofaform of the linear Schrödinger équation with a time-dependent coefficient, found e.g. in underwater acoustics. The time stepping procedures are based on the class of implicit Runge-Kutta methods known as the q-stage Gauss-Legendre schemes. L error estimâtes are proved that are of optimal order in space and of temporal order q + 2. An itérative procedure at each time step for the efficient implementation of the two-stage scheme is proposed and analyzed. Resumé. — On construit et analyse des méthodes totalement discrètes du type Galerkin, qui sont L-conservatives et d'ordre arbitraire, pour approcher la solution d'une forme de l'équation linéaire de Schrödinger avec un coefficient qui dépend du temps, trouvée par exemple dans l'acoustique sous-marine. La procédure de discrétisation en temps est basée sur la classe des méthodes implicites de Runge-Kutta connues comme les schémas de Gauss-Legendre à q pas intermédiaires. On obtient des estimations dans L pour les erreurs, qui sont d'ordre optimal en espace et d'ordre q + 2 en temps. On propose et analyse aussi une procédure itérative pour résoudre les systèmes linéaires à chaque pas de temps pour une application efficace du schéma Gauss-Legendre à deux pas intermédiaires.